Report 1 : 초기치 문제

기간 : 1999. 9. 17. - 9. 30.

  1. 사회의 반항자의 출생과 관련된 문제의 모델

    사회가 시간 t에 x(t)명의 인구를 가지고 있고 반항자와 결혼한 모든 반항자는 반항자 자식을 낳고 다른 모든 자식들의 고정된 비율만 반항자가 된다고 가정한다.

    만약 모든 개인에 대한 출생율과 사망율이 각각 b와 d이고 순응자와 반항자가 무작위적으로 결혼한다면, 이 문제는 다음의 미분방정식으로 표현할 수 있다.

    d x(t)
    dt
    		 = (b-d) x(t)     그리고     d y(t)
    dt
    		 = (b-d) y(t) + r b ( x(t) - y(t) ).

    여기에서, y(t)는 시간 t에서의 반항자의 수이다.

    1. 만약 변수 p(t) = [y(t)/ x(t)] 가 시간 t에서의 사회의 반항자의 비율을 나타낸다면, 위의 식이 결합되어 다음의 단일 미분방정식이 됨을 보여라.

      d p(t)
      dt
      		 = r b ( 1 - p(t) ).

    2. p(0) = 0.01, b = 0.02, d = 0.015, r = 0.1 이라고 가정하고 위의 미분방정식의 정확한 해 p(t)를 구하라.

    3. t = 0 에서 부터 t = 50 까지의 단계 크기를 h = 1 년으로 하여 근사해 p(t) 를 Euler Method, Midpoint Method 및 Runge-Kutta Method of Order 4 를 사용하여 각각 구하고 그의 오차를 조사하라. 또한 이들의 그래프를 그려서 비교하라.

  2. 원형의 배수구를 가진 역원추형 물탱크로 부터의 물은
    dx
    dt
    		 = - 0.6 pr2   ___
    �-2 g
     
    		 �x
    A(x)
    의 속도로 흐른다.

    여기에서 r은 배수구의 반지름, x는 원추의 꼭지로부터의 수위, 그리고 A(x)는 배수구로부터 x ft 위에서의 물탱크의 단면적을 나타낸다.

    r = 0.1 ft, g = -32.17 ft/s2, 초기의 수위 x(0)를 8 ft, 그리고 초기의 수량을 [(512 p)/ 3] ft3 이라 할 때,

    1. h = 20 초인 Runge-Kutta Method of Order 4 를 사용하여 10분후의 수위를 구하라.

    2. 언제 물탱크가 비게되는 지 1분 단위까지 정확하게 구하라.

    3. 수위의 변화 곡선을 그림으로 나타내어라.

File translated from TEX by TTH, version 2.00.
On 16 Sep 1999, 20:29.