Archimedes cattle problem

Qz]
Let W, B, D, Y be the numbers of the bulls in the white, black, dappled, and yellow herds,　
respectively. Likewise, let w, b, d, y be the numbers of the caws in the same order.　
Show that the smallest integer solution gives B = 7,460,514.　
Find the remaining of the unknowns and the total number of oxen in this case.

W = (1/2+1/3) B + Y, B = (1/4+1/5) D + Y , D = (1/6+1/7) W + Y　　 <=　 Bulls　
w = (1/3+1/4) ( B + b ),　 b = (1/4+1/5) ( D + d ),　
d = (1/5+1/6) ( Y + y ),　　 y = (1/6+1/7) ( W + w )　 　　　　　　　 <= Cows

1. 소수를 분수로 표현하는 방법의 예　
Mat> [n, d]　 =　 rat( 0.6 )　　　 % rat 는 rational number의 약자 　
　　　　　 ==>　　 n = 3,　 d = 5　 즉　0.6　 = 3/5 = n / d 　
2. Lcm(Least common multiple)을 구하는 방법　 　　　　　
Mat> lcm( a, b)　 　 　　　　　　　 % 두 수의　최소공배수 　　　　　
Mat> l = 1; for i=1:10,　 l = lcm( l, a(i)); end 　　　
%　 a(1), a(2), ...　 , a(10) 의 최소 공배수

　　 x = [W B Y D w b y d]';
A =[ 　
　　　　 6　　 -5　 -6　　 0　　 0　　 0　　 0　　 0
　　　　 0　　 20　 -20　 -9　　 0　　 0　　 0　　 0
　　　 -13　　 0　　 -42　 42　　 0　　 0　　 0　　 0
　　　　 0　　 -7　　 0　 0　　 12　 -7　　 0　　 0
　　　　 0　　 0　　 0　 -9　　 0　　 20　　 0　　 -9
　　　　 0　　 0　　 -11　 0　　 0　　 0　　 -11　　 30
　　　 -13　　 0　　 0　　 0　　 -13　　 0　　 42　　 0 ];
　
Mp> A:=matrix([ [6,-5,-6,0,0,0,0,0],[0,20,-20,-9,0,0,0,0],　
　　　　　 [-13,0,-42,42,0,0,0,0],[0,-7,0,0,12,-7,0,0],
　　　　　 [0,0,0,-9,0,20,0,-9], [0,0,-11,0,0,0,-11,30],
　　　　　 [-13,0,0,0,-13,0,42,0] ]);
　
　 Reduced row echelon forrm은 아래의 행렬이다.
Mp> rref(A);

　　 1　　 0　　 0　　 0　　 0　　 0　　 0　　 -246821 / 83710
　　 0　　 1　　 0　　 0　　 0　　 0　　 0　　 -1243419 / 585970
　　 0　　 0　　 1　　 0　　 0　　 0　　 0　　 -125739 / 106540
　　 0　　 0　　 0　　 1　　 0　　 0　　 0　　 -367903 / 175791
　　 0　　 0　　 0　　 0　　 1　　 0　　 0　　 -17158 / 8371
　　 0　　 0　　 0　　 0　　 0　　 1　　 0　　 -815541 / 585970
　　 0　　 0　　 0　　 0　　 0　　 0　　 1　　 -1813071 / 1171940

그러므로,

　W = 246821/83710 d
　B = 1243419/585970 d
　Y = 125739/106540 d
　D = 367903/175791 d
　w = 17158/8371 d
　b = 815541/585970 d
　y = 1813071/1171940 d

　 모든 변수들이 자연수이여야 하므로 d의 값은 분모들의 최소 공배수가 되어야 한다.
Mp> lcm (1171940,585970,175791,106540,83710,8371);
　　　　　　　　 ===>　　 lcm = 3515820

　또는
　83710　 = 2*5*11*761
　585970 = 2*5*7*11*761
　106540 = 2*2*5*7*761
　175791 = 3*7*11*761
　8371　 = 11*761
　585970 = 2*5*7*11*761
　1171940 = 2*2*5*7*11*761

　 위와 같이 인수분해 되므로 최소공배수는 2*2*3*5*7*11*761 = 3515820 이 된다.
　d = 3515820 * k 라고 두고　 각각에 대입하게 되면

　W = 10366482 * k
　B = 7460514　 * k
　Y = 4149387　 * k
　D = 7358060　 * k
　w = 7206360　 * k
　b = 4893246　 * k
　y = 5439213　 * k
　 d = 3515820　 * k

　최소의 자연수　 k = 1 을 대입하면 원하는 해를 구하게 된다.
최소값의 합은 50,389,082